题目:
证明方程$x-\epsilon \sin{x} = 1 (0 \lt \epsilon \lt 1)$ 在R上必有唯一的实根
(限制不许求导)
分析:
拿到题的一瞬间, 感觉就是”这不是1 + 1”吗, 显而易见.
然后一看不许求导, 懵了.
首先设
$$f(x) = x-\epsilon \sin{x} - 1$$
那么有$f(0) = -1$ 且 $f(2) > 0$, 由初等函数的连续性和零值定理可知, f(x) = 0 在(0, 2)上必定有一根.
下一步证明单调性:
设: $x_1 > x_2$
$$
\begin{aligned}
f(x_1) - f(x_2) &= (x_1-\epsilon \sin{x_1} - 1) - (x_2-\epsilon \sin{x_2} - 1) \
&= (x_1 - x_2) - \epsilon(\sin{x_1} - \sin{x_2})\
&= (x_1 - x_2) - \epsilon * 2\cos{\frac{x_1+x_2}{2}}\sin{\frac{x_1 - x_2}{2}} \
&\geq (x_1 - x_2) - \epsilon * 2\sin{\frac{x_1 - x_2}{2}} \
&= 2(\frac{(x_1 - x_2)}{2} - \epsilon \sin{\frac{x_1 - x_2}{2}}) \
\mathrm{令} u = \frac{(x_1 - x_2)}{2} \
&= 2(u - \epsilon * \sin{u})
\end{aligned}
$$
已知$u > 0$, 当$\sin{u} \lt 0$ 时, 原式显然大于0.
当$\sin{u} \gt 0$ 时, 因为有
$|x| - |\sin{x}| > 0$ 而 $0 \lt \epsilon \lt 1$
则原式 > 0.